Rappel : la forme développée d'un trinôme est ƒ(x) = ax² + bx + c

Propriété

La forme canonique est définie par ƒ(x) = a(x - α)² + β où on retrouve le coefficient a de la forme développée et deux nouvelles lettres grecques : Alpha et Béta.On a alors :

Soit la fonction ƒ(x) = 3(x + 5)² - 1
On a :

Attention au piège ! La forme canonique est ƒ(x) = a(x-α)² + β.
Si vous avez une fonction avec a(x + 5)² - 1, alors elle se décompose en a(x - (-5))² + (-1).


Soit la fonction ƒ(x) = 3x² + 30x + 74
Méthode :
1) Calculer α et β

2) En déduire la forme canonique
On sait que α = -5, β = -1 et a = 3 d'où ƒ(x) = 3(x + 5)² - 1

Propriété

Le point S sommet de la parabole est tel que S(α ; β).
- Si a < 0, alors β est le maximum de la fonction
- Si a > 0, alors β est le minimum de la fonction

Grâce à la forme canonique, on peut trouver les variations de la fonction.
Méthode :
On veut déterminer le sens de variation de la fonction ƒ(x) = -3(x-1)²+4 sur ]-∞ ; 1]

Soit deux réels a et b tels que a < b sur ]-∞ ; 1]


On a a < b et ƒ(a) < ƒ(b), donc l'ordre n'a pas changé. La fonction est croissante sur ]-∞ ; 1]
Si on avait eu a < b et ƒ(a) > ƒ(b), l'ordre aurait changé et donc la fonction aurait été décroissante.


1) On peut calculer les antécédents de β


2) On peut déterminer le tableau de variation